Question

如下圖，正方形ABCD與ABEF不在同一平面內，M、N分別在AC、BF上，且AM＝FN

求證：MN∥平面CBE．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：如下圖，作MT∥AB交BC 　　于點T，作NH∥AB交BE于點H，連結HT， 　　∵AM＝FN， 　　又∵ABCD與ABEF為正方形， 　　∴△CMT≌△MNH． 　　∴MT＝NH． 　　∴四邊形MNHT是平行四邊形． 　　∴MN∥TH． 　　又∵HT平面BCE，MN平面BCE， 　　∴MN∥平面BCE． 　　證法二：如下圖，連結AN并延長交BE于P點，連結CP， 　　∵BE∥AF， 　　∴AN∶NP＝FN∶NB． 　　又∵AM＝FN， 　　∴NB＝MC． 　　∴AN∶NP＝AM∶MC． 　　∴MN∥CP． 　　∵CP平面CBE，MN平面CBE， 　　∴MN∥平面CBE． 　　思路分析：要證MN∥平面CBE須找到平面BCE內與MN平行的“目標直線”． 　　溫馨提示：(1)要證線面平行，即須證線線平行，即將空間問題轉化為平面問題解決，這是數學上常用的化歸思想． 　　(2)由直線和平面平行的判定定理可以知道，證明直線和平面平行只需要在平面內找到一條直線和這條直線平行即可．有時平面內的這條直線是圖形中原來就有的，而有時圖形中卻沒有現成的直線和這條直線平行．這時問題的關鍵是如何在平面內尋求一條直線和該直線平行．例1中的證法一這種構造“目標直線的方法我們形象地稱為”平行光源投影法，即用一束平行于AB的光線照射MN，MN在面BCE內的投影即為目標直線．例1中的證法二這種構造“目標直線”的方法，我們形象地稱之為“點光源投影法”，即將點A看作光源，MN在平面BCE內的投影即為所尋找的目標直線．