Question

已知f（x）為偶函數，且f（2+x）=f（2-x），當-2≤x≤0時，f（x）=2^x；若n∈N^*，a_n=f（n），則a₂₀₀₉=（　　）

• A、2009
• B、-2009
• C、

  1

  2

• D、

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  4

Answer 1

分析：由f（x）為偶函數，且f（2+x）=f（2-x），推出f（x）是周期為4的周期函數，由a_n=f（n）得，a₂₀₁₀=f（2009）=f（4×502+1）=f（1）=f（-1），于是即可求出a₂₀₀₉的值．

解答：解：∵f（2+x）=f（2-x），∴f（x）=f （4-x），又f（x）為偶函數，
∴f（-x）=f（x），
∴f（-x）=f（4-x），
∴f（x）=f（x+4），
∴f（x）是周期等于4的周期函數，
∵a_n=f （n），當-2≤x≤0時，f（x）=2^x，
∴a₂₀₀₉=f （2009）=f （4×502+1）=f （1）=f（-1）=2^-1=

1

2

，
故選C．

點評：本題主要考查了數列遞推式和偶函數的性質、函數的周期性，利用函數的奇偶性和周期性求函數值，此題難度一般．