Question

在正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，現在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點重合，重合后的點記為P．問：
①依據題意畫出這個幾何體；
②這個幾何體由哪幾個面構成，每個面的三角形是什么三角形；
③若正方形邊長為2a，則每個面的三角形面積為多少．

Answer 1

分析：①這個幾何體是一個四邊體；
②這個幾何體由四個面構成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP．由平幾知識，∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°，從而判斷△DEF，△DFP、△EFP、△DEP的形狀．
③由②可知，DE=DF=

5

a，EF=

2

a，利用三角形的面積公式即可求得每個面的三角形面積．

解答：解：①如圖所示．
②這個幾何體由四個面構成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP．
由平幾知識可知DE=DF，∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°，
所以△DEF為等腰三角形，△DFP、△EFP、△DEP為直角三角形．
③由②可知，DE=DF=

5

a，EF=

2

a，所以，S_△DEF=

3

2

a²．DP=2a，EP=FP=a，
所以S_△DPE=S_△DPF=a²，S_△EPF=

1

2

a²．

點評：本小題主要考查棱錐的結構特征，三角形面積和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．