Question

某公司為了實現2011年1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數額不超過5萬元，同時獎金數額不超過利潤的25%，現有三個獎勵模型：y=0.025x，y=1.003^x，y=

x

8

+1，問其中是否有模型能完全符合公司的要求？說明理由．（參考數據：1.003⁶⁰⁰≈6）

Answer 1

分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數為增函數；②函數的最大值不超過5；③y≤x•25%，然后一一驗證即可．

解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時
①函數為增函數；②函數的最大值不超過5；③y≤x•25%
（1）y=0.025x，易知滿足①，但當x＞200時，y＞5不滿足公司要求；
（2）y=1.003^x，易知滿足①，但當x＞600時，y＞6不滿足公司要求；
（3）y=

x

8

+1，易知滿足①，當x∈[10，1000]時，y≤

5

4

10

+1，
又

5 10

4

+1-5=

5 10 -16

4

＜0，滿足②…（9分）
而

x

8

+1≤

1

4

•x?

x

+8≤2x?2x-

x

-8≥0
令t=

x

，t∈[

10

，10

10

]易知y=2t²-t-8在[

10

，10

10

]為增函數∴2t2-t-8≥20-

10

-8=12-

10

＞0，滿足③
綜上，只有獎勵模型：y=

x

8

+1能完全符合公司的要求．           …（12分）

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查方案的優化設計，解題的關鍵是一一驗證．