Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng) ，求函數(shù)的極小值；

（2）已知函數(shù)在處取得極值，求證：；

（3）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析；

【解析】

(1)當(dāng)令 ，解得．即可得出函數(shù)的單調(diào)性極值點(diǎn)．

(2)，函數(shù) 在處取得極值，可得 ，解得：或時(shí)，不滿足條件，舍去，因此，即可證明．

（3） 時(shí)，; 時(shí)，;

①，解得： ，此時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．即函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn)．設(shè)．對與與0的大小關(guān)系即可得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．②，解得：或，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可得出函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

（1）當(dāng) ，.

,

令，解得，或，

可得：函數(shù)在 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴時(shí)函數(shù)取得極小值， 。

（2） ，

∵函數(shù)在取得極值，

∴ ，

（3） ，

，

時(shí)，; 時(shí)，;

①，解得：或 ，此時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．即函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．設(shè)．

時(shí)，可得：函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)。

時(shí)，可得：函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)。

時(shí)，可得：函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)。

時(shí)，可得：函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)。

時(shí)，可得：函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)。

② ，解得： ，此時(shí) ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，時(shí)，; 時(shí)，;可得：函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)。