Question

已知定義域為R的函數f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數．
（1）求a，b的值；        
（2）判斷函數的單調性并證明；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）為R上的奇函數得f（0）=0，f（-1）=-f（1），解出方程可得a，b值；
（2）由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，利用單調性定義可作出判斷；
（3）由f（x）的奇偶性可得，f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），根據單調性可去掉符號“f”，轉化為函數最值解決即可；

解答：解：（1）因為f（x）為R上的奇函數，
所以f（0）=0，即

-1+b

2+a

=0，解得b=1，
由f（-1）=-f（1），得

-2-1+1

20+a

=-

-2+1

22+a

，解得a=2，
所以a=2，b=1；
（2）f（x）為R上的奇函數，證明如下：
由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（-

1

2

+

1

2x1+1

）-（-

1

2

+

1

2x2+1

）=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因為x₁＜x₂，所以2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x1+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）為減函數；
（3）因為f（x）為奇函數，所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化為f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
又由（2）知f（x）為減函數，所以t²-2t＞k-2t²，即3t²-2t＞k恒成立，
而3t²-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

≥-

1

3

，
所以k＜-

1

3

．

點評：本題考查函數單調性的判斷及其應用，考查函數恒成立問題，考查學生解決問題的能力．