Question

已知f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）求使f（x）＞0的x取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求對數函數的定義域，只要真數大于0即可，轉化為解分式不等式．
（2）利用奇偶性的定義，看f（-x）和f（x）的關系，注意到

1+x

1-x

和

1-x

1+x

互為倒數，其對數值互為相反數；
也可計算f（-x）+f（x）=0得到．
（3）有對數函數的圖象可知，要使f （x）＞0，需分a＞0和a＜0兩種境況討論．

解答：解：（1）由對數函數的定義知

1+x

1-x

＞0．如果

1+x＞0 1-x＞0

，則-1＜x＜1；
如果

1+x＜0 1-x＜0

，則不等式組無解．故f（x）的定義域為（-1，1）
（2）∵f(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數．
（3）（ⅰ）對a＞1，log_a

1+x

1-x

＞0等價于

1+x

1-x

＞1，①
而從（1）知1-x＞0，故①等價于1+x＞1-x，又等價于x＞0．故對a＞1，當x∈（0，1）時有f（x）＞0．（ⅱ）對0＜a＜1，log_a

1+x

1-x

＞0等價于
0＜

1+x

1-x

＜1．②
而從（1）知1-x＞0，故②等價于-1＜x＜0．故對0＜a＜1，當x∈（-1，0）時有f（x）＞0．

點評：本題考查對數函數的性質：定義域、奇偶性、單調性等知識，難度一般．