Question

已知函數y=f（x）是R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，當x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0給出下列命題：
（1）f（2）=0且T=4是函數f（x）的一個周期；
（2）直線x=4是函數y=f（x）的一條對稱軸；
（3）函數y=f（x）在[-6，-4]上是增函數；
（4）函數y=f（x）在[-6，6]上有四個零點．
其中正確命題的序號是

 

（填上你認為正確的所有序號）

Answer 1

分析：由函數y=f（x）是R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我們令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，進而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由當x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，我們易得函數在區間[0，2]單調遞增，由此我們畫出函數的簡圖，然后對題目中的四個結論逐一進行分析，即可得到答案．

解答：解：∵對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
當x=-2，可得f（-2）=0，
又∵函數y=f（x）是R上的偶函數
∴f（-2）=f（2）=0，
又由當x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，
∴函數在區間[0，2]單調遞增
故函數f（x）的簡圖如下圖所示：

由圖可知：（1）正確，（2）正確，（3）錯誤，（4）正確
故答案：（1）（2）（4）

點評：本題考查的知識點是函數的圖象，函數的奇偶性，函數的周期性，函數的零點，解答的關鍵是根據已知，判斷函數的性質，并畫出函數的草圖，結合草圖分析題目中相關結論的正誤．