Question

已知函數f（x）=3x²+1，g（x）=2x，數列{a_n}滿足對于一切n∈N^*有a_n＞0，且f(an+1)-f(an)=g(an+1+

3

2

)．數列{b_n}滿足bn=logana，設k，l∈N*，bk=

1

1+3l

，bl=

1

1+3k

．
（1）求證：數列{a_n}為等比數列，并指出公比；
（2）若k+l=9，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）根據f(an+1)-f(an)=g(an+1+

3

2

)，代入到函數f（x）=3x²+1，g（x）=2x，化簡可得a_n+1=3a_n，從而可得數列{a_n}為等比數列，公比為3；
（2）先證明數列{b_n}的倒數構成意等差數列，再利用條件k，l∈N*，bk=

1

1+3l

，bl=

1

1+3k

，結合k+l=9求數列的首項與公差，從而可表示數列{b_n}的通項公式．

解答：解：（1）由題意，∵f(an+1)-f(an)=g(an+1+

3

2

)
∴3(an+1)2+1-3

a

2 n

-1=2(an+1+

3

2

)，∴a_n+1=3a_n
∴數列{a_n}為等比數列，公比為3；
（2）∵bn=logana，∴

1

bn

=logaan，∴

1

bn+1

-

1

bn

=loga3
k，l∈N*，bk=

1

1+3l

，bl=

1

1+3k

∴

1

bk

=1+3l，

1

bl

=1+3k，
∴

1

bk

-

1

bl

=3(l-k)=(k-l)loga3
∴

1

bn+1

-

1

bn

=loga3=-3
∴

1

bn

=

1

bk

+(n-k)×(-3)=-3n+28，
∴bn=

1

-3n+28

點評：本題的考點是數列遞推關系式，主要考查數列與函數的結合，考查等比數列的定義，等差數列的定義及通項公式的運用，關鍵是構建等差數列，考查等價轉化的能力，有一定的難度．