Question

（2009•上海模擬）已知數列{a_n}滿足a1=

2

5

，且對任意n∈N^*，都有2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1．
（1）求證：數列{

1

an

}為等差數列；
（2）試問數列{a_n}中任意連續兩項的乘積a_k•a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的項？如果是，請指出是數列的第幾項；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用已知條件，通過等差數列的定義，證明數列{

1

an

}為等差數列；
（2）通過（1）求出數列的通項公式，然后化簡a_k•a_k+1（k∈N^*），使得為通項公式的形式，即可判斷是否是{a_n}中的項，然后求是數列的第幾項；

解答：解：（1）由2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，可得

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，（3分）
所以數列{

1

an

}是以

5

2

為首項，公差為

3

2

的等差數列．                     （6分）
（2）由（1）可得數列{

1

an

}的通項公式為

1

an

=

3n+2

2

，所以an=

2

3n+2

．   （8分）ak•ak+1=

2

3k+2

•

2

3(k+1)+2

=

4

9k2+21k+10

=

2

9k2+21k+6 2 +2

=

2

3• 3k2+7k+2 2 +2

．                   （10分）
因為

3k2+7k+2

2

=k2+3k+1+

k(k+1)

2

，（11分）
當k∈N^*時，

k(k+1)

2

一定是正整數，所以

3k2+7k+2

2

是正整數．     （13分）
所以a_k•a_k+1是數列{a_n}中的項，是第

3k2+7k+2

2

項．                 （14分）

點評：本題是中檔題，考查等差數列的證明的方法，數列通項公式的應用，考查轉化思想、計算能力．