Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2AD，且

PC1

=λ

CC1

（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求證：對任意0＜λ＜1，總有AP⊥BD；
（Ⅱ）若λ=

1

3

，求二面角P-AB₁-B的余弦值；
（Ⅲ）是否存在λ，使得AP在平面B₁AC上的射影平分∠B₁AC？若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）以D為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，設AB=1可得D、A、C、B₁、C₁、P各點的坐標，從而得到向量

BD

、

AP

的坐標，算出

BD

•

AP

=0可得

BD

⊥

AP

，即對任意0＜λ＜1總有AP⊥BD；
（II）利用空間向量數量積為零的方法，建立方程組解出平面AB₁P的一個法向量為

n

=(1，3，-

3

2

)，結合平面ABB₁的一個法向量為

m

=(1，0，0)，利用空間向量的夾角公式算出

m

、

n

夾角的余弦，即可得到二面角P-AB₁-B的余弦值；
（III）由題結合圖形，可得當

AP

分別與

AC

、

AB1

所成的角相等時，即存在實數λ滿足條件，由此建立向量關系式，化簡可得關于λ的方程，解之得λ=

5- 10

4

∈(0，1)．由此可得存在滿足題意的實數λ，使得AP在平面B₁AC上的射影平分∠B₁AC．

解答：解：（I）以D為原點，分別以DA、DC、DD₁所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示
設AB=1，則可得D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），
B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），P（0，1，2-2λ）
∴

BD

=(-1，-1，0)，

AP

=(-1，1，2-2λ)
可得

BD

•

AP

=-1×(-1)+(-1)×1+0=0
∴

BD

⊥

AP

，即對任意0＜λ＜1，總有AP⊥BD；…（4分）
（II）由（I）及λ=

1

3

，得

AP

=(-1，1，

4

3

)，

AB1

=(0，1，2)
設平面AB₁P的一個法向量為

n

=(1，x，y)
可得

n • AP =-1+x+ 4 3 y=0 n • AB1 =x+2y=0

，解之得

x=3 y=- 3 2

∴平面AB₁P的一個法向量為

n

=(1，3，-

3

2

)，
又∵平面ABB₁的一個法向量為

m

=(1，0，0)，
∴設二面角P-AB₁-B的大小為θ，可得cosθ=|

m • n

| m |•| n |

|=

2

7

因此可得二面角P-AB₁-B的余弦值為

2

7

…（9分）
（III） 假設存在實數λ（0＜λ＜1）滿足條件，
由題結合圖形，只需滿足

AP

分別與

AC

、

AB1

所成的角相等，
即 

AP • AC

| AP |•| AC |

=

AP • AB1

| AP |•| AB1 |

，約去|

AP

|有

2

2

=

5-4λ

5

，
解得 λ=

5- 10

4

∈(0，1)．
所以存在滿足題意的實數λ=

5- 10

4

，使得AP在平面B₁AC上的射影平分∠B₁AC．…（14分）

點評：本題在正四棱柱中求證線線垂直、并求二面角的大小．著重考查了正棱柱的性質、利用空間向量研究二面角和直線與平面所成角等知識，屬于中檔題．