Question

12．如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD是菱形，AB=2A₁B₁，AA₁⊥平面ABCD．
（1）求證：BD⊥C₁C；
（2）求證：C₁C∥平面A₁BD．

Answer 1

分析 （1）由AA₁⊥平面ABCD，可證AA₁⊥BD．四邊形ABCD是菱形可得AC⊥BD，由線面垂直的判定定理可證BD⊥面ACC₁A₁，再由線面垂直的性質(zhì)定理可證BD⊥CC₁． 
（2）連接AC和A₁C₁，設(shè)AC∩BD=E，先證明四邊形ECC₁A₁為平行四邊形，可得CC₁∥A₁E，再由線面平行的判定定理可證CC₁∥平面A₁BD．

解答 證明：（1）∵AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD．
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又 AC∩AA₁=A，∴BD⊥面ACC₁A₁．
由CC₁?面ACC₁A₁，
∴BD⊥CC₁．                             
（2）連接AC和A₁C₁，設(shè) AC∩BD=E，由于底面ABCD是平行四邊形，故E為平行四邊形ABCD的
中心，由棱臺(tái)的定義及AB=2AD=2A₁B₁，可得 EC∥A₁C₁，且 EC=A₁C₁，
故ECC₁A₁為平行四邊形，∴CC₁∥A₁E，而CC₁?平面A₁BD，A₁E?平面A₁BD，
∴CC₁∥平面A₁BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、垂直的判定定理、線面平行、垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．