Question

已知函數y=f（x）的定義域為R，對任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且對任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=-3．
（1）試證明：函數y=f（x）是R上的單調減函數；
（2）試證明：函數y=f（x）是奇函數；
（3）試求函數y=f（x）在[m，n]（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域．

Answer 1

（1）證明：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]，
于是由題設條件f（x+x′）=f（x）+f（x′）可知f（x₂）=f（x₁）+f（x₂-x₁）．
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0．∴f（x₂-x₁）＜0．
∴f（x₂）=f（x₁）+f（x₂-x₁）＜f（x₁）．
故函數y=f（x）是單調減函數．
（2）證明：∵對任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），
∴若令x=x′=0，則f（0）=f（0）+f（0）．
∴f（0）=0．
再令x′=-x，則可得f（0）=f（x）+f（-x）．
∵f（0）=0，∴f（-x）=-f（x）．故y=f（x）是奇函數．
（3）解：由函數y=f（x）是R上的單調減函數，
∴y=f（x）在[m，n]上也為單調減函數．
∴y=f（x）在[m，n]上的最大值為f（m），最小值為f（n）．
∴f（n）=f[1+（n-1）]=f（1）+f（n-1）=2f（1）+f（n-2）═nf（1）．
同理，f（m）=mf（1）．
∵f（3）=-3，∴f（3）=3f（1）=-3．
∴f（1）=-1．∴f（m）=-m，f（n）=-n．
因此，函數y=f（x）在[m，n]上的值域為[-n，-m]．
分析：（1）可根據函數單調性的定義進行論證，考慮證明過程中如何利用題設條件．
（2）可根據函數奇偶性的定義進行證明，應由條件先得到f（0）=0后，再利用條件f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）中x₁、x₂的任意性，可使結論得證．
（3）由（1）的結論可知f（m）、f（n）分別是函數y=f（x）在[m、n]上的最大值與最小值，故求出f（m）與f（n）就可得所求值域．
點評：（1）滿足題設條件f（x+x′）=f（x）+f（x′）的函數，只要其定義域是關于原點對稱的，它就為奇函數．
（2）若將題設條件中的x＞0，均有f（x）＜0改成均有f（x）＞0，則函數f（x）就是R上的單調增函數．
（3）若題設條件中的m、n∈Z去掉，則我們就無法求出f（m）與f（n）的值，故m、n∈Z不可少．