Question

設函數f（x）=x|x|+bx+c，給出下列四個命題：
①c=0時，y=f（x）是奇函數；
②b=0，c＞0時，方程f（x）=0只有一個實數根；
③y=f（x）的圖象關于（0，c）對稱；
④方程f（x）=0至多有兩個實根．
其中正確的命題個數是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：對各個選項分別加以判斷：根據函數奇偶性的定義，得到是①真命題；根據函數的單調性與函數的值域，說明②是真命題；根據函數的圖象是由一個奇函數圖象平移而來，得到③是真命題；最后用一個反例推出④是假命題．由此可以選出正確答案．

解答：解：①當c=0時，函數f（x）=x|x|+bx，
∴函數f（-x）=-x|-x|+b-x=-（x|x|+bx）=-f（x）
∴函數y=f（x）為奇函數；
②b=0，c＞0時，因為函數在R上是增函數，且值域為（-∞，+∞）
∴方程f（x）=0只有一個實數根
③由①知函數y=x|x|+bx為奇函數，圖象關于原點對稱
y=f（x）的圖象是由它的圖象向上平移c個單位而得，
所以函數y=f（x）的圖象關于（0，c）對稱；
④當b=-1，c=0時，方程f（x）=0有三個實根：1，-1和0
因此④方程f（x）=0至多有兩個實根錯誤
綜合以上，說明①②③是正確的
故選C

點評：本題考查了函數的零點，也就是方程的根的個數的判斷，屬于中檔題．對函數奇偶性和單調性的充分理解，并用于二次函數當中，本題可以迎刃而解．