Question

在數列{a_n}中，a₁=1,(n∈N^*).

(Ⅰ)試比較a_na_n+2與的大小；

(Ⅱ)證明：當n≥3時，a_n＞.

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意知,對任意n∈N^*,都有a_n＞0.

∵∴,

∴

∴a_na_n+2≤. 

(Ⅱ)證法1：由已知得,a₁=1,a₂=,a₃=.

∵+1＞1；∴a_n+1＞a_n,又a₁=1,∴a_n＞1(n≥2).

當n≥3時,a_n,

∴a_n-a_n-1＞.

∴a_n=a₃+(a₄-a₃)+(a₅-a₄)+…+(a_n-a_n-1) 

設S=,      ①

則S=.    ②

①-②得S=

∴S=.

∴a_n＞.

證法2：由已知得,a₁=1,a₂=,a₃=.

(1)當n=3時.由3=2＜,知不等式成立. 

(2)假設當n=k(k≥3)不等式成立,即a_k＞3,那么

a_k+1=(+1)a_k＞(+1)(3-)=3.

要證a_k+1＞3,只需證,

即證,則只需證2^k＞k+1. 

因為2^k==k+1成立,

所以a_k+1＞3成立.

這就是說,當n=k+1時,不等式仍然成立. 

根據(1)和(2),對任意n∈N^*,且n≥3,

都有a_n＞3.