Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求這兩個數(shù)列的對應(yīng)各項相乘所得新數(shù)列的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出{a_n}的公差，{b_n}的公比，利用a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，建立方程組，即可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法，可求前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0且

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

…（2分）
解得d=2，q=2．　　…（4分）
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，…（6分）
所以bn=qn-1=2n-1．　　…（8分）
（Ⅱ）∵

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
∴Sn=1+

3

21

+

5

22

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，①
∴2Sn=2+3+

5

2

+…+

2n-3

2n-3

+

2n-1

2n-2

，②
②-①得Sn=2+2+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-2

-

2n-1

2n-1

=2+2×(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

)-

2n-1

2n-1

=2+2×

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n-1

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查待定系數(shù)法，錯位相減法，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．