Question

設橢圓方程為=1，求點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O為坐標原點，點P滿足，當l繞點M旋轉時，求動點P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：設出直線l的方程，A，B的坐標，聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理表示出x₁+x₂，利用直線方程表示出y₁+y₂，然后利用 求得 的坐標，設出P的坐標，然后聯立方程消去參數k求得x和y的關系式，P點軌跡可得．
解答：解：設P（x，y）是所求軌跡上的任一點，
①當斜率存在時，直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
橢圓：4x²+y²-4=0
由直線l：y=kx+1代入橢圓方程得到：
（4+k²）x²+2kx-3=0，
x₁+x₂=-，y₁+y₂=，
由得：
（x，y）=（x₁+x₂，y₁+y₂），
即：
消去k得：4x²+y²-y=0
當斜率不存在時，AB的中點為坐標原點，也適合方程
所以動點P的軌跡方程為：4x²+y²-y=0．
點評：本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質等基礎知識，以及軌跡的求法與應用、曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力．