Question

已知數{a_n}的各項均為正整數，且滿足a_n+1=a_n²-2na_n+2，a₅=11．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并由此推測{a_n}的通項公式（不要求證明）；
（2）設Cn=

1

n(1+an)

，Tn=c1+c2+…+cn，是否存在最大的整數m，使得對任意正整數n，均有Tn＞

m

32

？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別把n=5，4，3，2代入a_n+1=a_n²-2na_n+2，分別求出a₁=3，a₂=5，a₃=7，a₄=9，從而猜想：a_n=2n+1．
（2）cn=

1

n(1+an)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)Tn=c1+c2++cn=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

2

(1-

1

n+1

)
而對于任意n∈N^*Tn+1-Tn=

1

2

(1-

1

n+2

)-

1

2

(1-

1

n+1

)=

1

2(n+1)(n+2)

＞0．數列T_n是遞增數列，T_n的最小值為T1=

1

4

，由此可求出存在最大的整數7，使得對任意正整數n，均有T_n＞

m

32

成立．

解答：解：（1）由a₅=11，得11=a₄²-8a₄+2，解得a₄=9或a₄=-1（舍去）
由a₄=9，得9=a₃²-6a₃+2，解得a₃=7或a₃=-1（舍去）
由a₃=7，得7=a₂²-4a₂+2，解得a₂=5或a₂=-1（舍去）
由a₂=5，得5=a₁²-2a₁+2，解得a₁=3或a₁=-1（舍去）∴a₁=3，a₂=5，a₃=7，a₄=9
猜想：a_n=2n+1

（2）cn=

1

n(1+an)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)T_n
=c₁+c₂++c_n
=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

2

(1-

1

n+1

)

而對于任意n∈N^*Tn+1-Tn=

1

2

(1-

1

n+2

)-

1

2

(1-

1

n+1

)=

1

2(n+1)(n+2)

＞0
∴數列T_n是遞增數列
∴T_n的最小值為T1=

1

4

要使T_n＞

m

32

對任意n∈N^•總成立，只要T₁＞

m

32

即

1

4

＜

m

32

，∴m＜8
又m∈N^•，因此存在最大的整數7，使得對任意正整數n，均有T_n＞

m

32

成立

點評：本題考查數列和不等式的綜合應用題，解題時要注意公式的靈活運用，合理地進行等價轉化．