Question

 （理）已知動點分別在軸、軸上，且滿足，點在線段上，且（是不為零的常數）。設點的軌跡為曲線。

（1）   求點的軌跡方程；

（2）   若，點是上關于原點對稱的兩個動點（不在坐標軸上），點，求的面積的最大值。

 

（文）已知:函數f(x)=a+ (a>1) 

   （1） 證明：函數f(x)在(-1,+∞ )上為增函數；

   （2）證明方程f(x)=0沒有負根．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （理）（1）設A（a,0）,B(0,b),P(x,y),由得——2’

由得點P軌跡方程為——2’

當時，C的方程為——1’

設直線方程為與C方程聯立得-1=0

易得

——2’

點Q到直線的距離為——2’

得，當且僅當-2時——1’

S有最大值——2’

 

 (文)證明：(1) 設-1<x_­1<x₂<+∞

f(x₁)-f(x₂) =a-a + -

=a-a +          （4）

 ∵  -1<x₁<x₂ ,a>0

 ∴  a-a<0     <0

 ∴  f(x₁)-f(x₂)<0  即  f(x₁)<f(x₂) ,函數f(x)在(-1,+∞ )上為增函數．       （6）

 (2)  若方程有負根x₀ (x₀≠-1)，則有a= -1

   若  x₀<-1 , -1<-1   而 a>0    故  a ≠ -1           （10）

   若 -1<x₀<0 ,   -1>2    而 a<a⁰=1  a ≠ -1

綜上所述，方程f(x)=0沒有負根．  

                                                                          （12）