Question

已知函數f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f′（x）的導函數f′(x)＜

1

2

，則f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集為（　　）

• A、{x|-1＜x＜1}
• B、{x|x＜-1}
• C、{x|x＜-1或x＞1}
• D、{x|x＞1}

Answer 1

分析：先把不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

移項并設φ（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，然后求出導函數φ′（x）又因為函數f′(x)＜

1

2

，所以φ′（x）＜0即φ（x）是減函數由f（1）=1求出φ（1）=0，根據函數是減函數得到f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集即可．

解答：解：?(x)=f(x)-

x

2

-

1

2

，則?/(x)=f/(x)-

1

2

＜0，
∴φ（x）在R上是減函數．
?(1)=f(1)-

1

2

-

1

2

=1-1=0，
∴?(x)=f(x)-

x

2

-

1

2

＜0的解集為{x|x＞1}．
故選D．

點評：此題考查了導數的運算，函數單調性的應用，以及利用導數研究函數的增減性．