Question

在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C:(>0),已知過點P(-2,-4)的直線l的參數方程為:（t為參數）,直線l與曲線C分別交于M,N兩點．
(1)寫出曲線C和直線l的普通方程；
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數列,求的值．

Answer 1

(1) 曲線C:, 直線的普通方程為；(2) ．

試題分析：(1) 由代入可得曲線C普通方程，直線l參數方程，兩式相減消去參數，可得直線l的普通方程；(2)設兩交點M,N對應的參數分別為t₁,t_2，將直線的參數方程代入拋物線方程可得，韋達定理求出，又|MN|²=|PM|·|PN|得(t₁-t₂)²=(t₁+t₂)²-4t₁·t₂=t₁·t₂,解得．
解：(1)由得曲線C: ,消去參數t可求得,
直線l的普通方程為．                                     4分
(2)直線l的參數方程為 (t為參數),
代入,得,
設兩交點M,N對應的參數分別為t₁,t₂,
則有,．
因為|MN|²=|PM|·|PN|,所以(t₁-t₂)²=(t₁+t₂)²-4t₁·t₂=t₁·t₂,
解得．                                     12分