Question

（2010•桂林二模）如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，AA₁=1，F在棱AB（不含端點）上，且C₁F與底面ABCD所成角的大小為45°
（Ⅰ）證明：直線D₁B₁⊥平面FCC₁；
（Ⅱ）求二面角B-FC₁-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）構造DM⊥CD，則以DM為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標系，欲證直線D₁B₁⊥平面FCC₁，只需證明

D1B1

垂直

CC1

，且

D1B1

垂直

C1F

即可；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所建立的空間直角坐標系中，平面FCC₁的法向量已求得，而平面BFC₁的法向量可設出后由其與

FB

、

FC1

垂直得到，此時求出兩法向量的夾角余弦值，則易得二面角B-FC₁-C的余弦值．

解答：證明：（Ⅰ）因為AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中點，
以DM為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），D₁（0，0，1），B₁（

3

2

，

3

2

，1），
∴

D1B1

=（

3

2

，

3

2

，0），
B（

3

2

，

3

2

，0），C（0，1，0），C₁（0，1，1），F（

3

2

，

1

2

，0），

CC1

=（0，0，1），

C1F

=（

3

2

，-

1

2

，0）
∵

D1B1

•

CC1

=0，且

D1B1

•

C1F

=0
故

D1B1

垂直

CC1

，且

D1B1

垂直

C1F

即D₁B₁⊥CC₁且D₁B₁⊥C₁F
又∵CC₁∩C₁F=C₁，
故直線D₁B₁⊥平面FCC₁；
（Ⅱ）由（I）可知平面FCC₁的一個法向量

n

=（

3

2

，

3

2

，0），
設平面BFC₁的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
∵

FB

=(0，1，0)，

C1F

=（

3

2

，-

1

2

，0）
則

n1 • FB =0 n1 • FC1 =0

所以

y1=0 - 3 x1+y1+2z1=0

，
取

n1

=(2，0，

3

)，
則

n

•

n1

=2×1-

3

×0+0×

3

=2，|

n

|=

1+( 3 )2

=2，
|

n1

|=

22+0+( 3 )2

=

7

，
所以 cos＜

n

，

n1

＞=

n • n1

| n || n1|

=

2

2× 7

=

7

7

，
由圖可知二面角B-FC₁-C為銳角，所以二面角B-FC₁-C的余弦值為

7

7

．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，其中建立適當的坐標系，將空間問題轉化為向量問題，是解答本題的關鍵．