Question

若定義在R上的減函數y=f（x），對于任意的x，y∈R，不等式f（x²-2x）≤-f（2y-y²）成立；且函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，則當 1≤x≤4時，

y

x

的取值范圍

[-

1

2

，1 ]

．

Answer 1

分析：根據函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，可知函數是奇函數，再利用在R上的減函數，轉化為具體的不等式，故可解．

解答：解：根據函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
可知函數是奇函數，
所以由f（x²-2x）≤-f（2y-y²），
得f（x²-2x）≤f（-2y+y²），
∵在R上的減函數y=f（x），
∴x²-2x≥-2y+y²，

x≥y x+y≥2

，或

x≤y x+y≤2

，
這兩個不等式組表示的平面區域如圖所示．
∵1≤x≤4，
∴取兩個不等式組表示的平面區域中的△ABC所在的區域，

y

x

指的是△ABC區域中的點與原點連線的斜率．
當x=4，y=-2時，

y

x

取得最小值-

1

2

，
當x=y時，

y

x

取得最大值1．
∴-

1

2

≤

y

x

≤1，
故答案為[-

1

2

，1]．

點評：本題主要考查函數的單調性與奇偶性，利用函數為奇函數將不等式等價變形，利用單調性，轉化為具體的不等式，要注意細細體會