Question

幾位同學在研究函數f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）時，給出了下面幾個結論：
①函數f（x）的值域為（-1，1）；②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；③f（x）在（0，+∞）是增函數；④若規定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立，
上述結論中正確的個數有______個．

Answer 1

①|x|＜1+|x|，故

x

1+|x|

∈(-1，1)，函數f（x）的值域為（-1，1），①正確；
②函數f(x)=

x

1+|x|

是一個奇函數，當x≥0時，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

，判斷知函數在（0，+∞）上是一個增函數，由奇函數的性質知，函數f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）是一個增函數，故若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），此命題正確；
③由②已證，故此命題正確；
④當n=1，f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f2(x)=

x 1+|x|

1+ |x| 1+|x|

=

x

1+2|x|

，假設n=k時，fk(x)=

x

1+k|x|

成立，則n=k+1時，fk+1(x)=

x 1+k|x|

1+  |x| 1+k|x|

=

x

1+(k+1)|x|

成立，由數學歸納法知，此命題正確．
故答案為 4