Question

已知函數的圖象過點P（0，2），且在點M（－1，）處的切線方程。
（1）求函數的解析式；   
（2）求函數與的圖像有三個交點，求的取值范圍。

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）將點代入函數解析式可得的值，將代入直線可得的值，再由切線方程可知切線的斜率為6，由導數的幾何意義可知即，解由和組成的方程組可得的值。（2）可將問題轉化為有三個不等的實根問題，將整理變形可得，令，則的圖像與圖像有三個交點。然后對函數求導，令導數等于0求其根。討論導數的符號，導數正得增區間，導數負得減區間，根據函數的單調性得函數的極值，數形結合分析可得出的取值范圍。
（1）由的圖象經過點，知。
所以，則 
由在處的切線方程是知，即。所以即解得。 
故所求的解析式是。    
（2）因為函數與 的圖像有三個交點
所以有三個根 
即有三個根
令，則的圖像與圖像有三個交點。 
接下來求的極大值與極小值（表略）。
的極大值為 的極小值為 
因此