Question

上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線PA、PB分別交橢圓于C、D點(diǎn)，如果D恰
是PB 的中點(diǎn).
（1）求證：無(wú)論常數(shù)a、b如何，直線CD的斜率恒為定值；
（2）求雙曲線的離心率，使CD通過(guò)橢圓的上焦點(diǎn).

Answer 1

（2）

（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，又A、B坐標(biāo)分別是、
而D是PB的中點(diǎn)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為，……………………2分
把D點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得：     ①
又  ②
由①②解得，舍去）
點(diǎn)坐標(biāo)為………………………………5分
故，直線PA的方程是聯(lián)立，解得
C點(diǎn)坐標(biāo)為，又D點(diǎn)坐標(biāo)為……………………7分
∴C、D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故無(wú)論a、b如何變化，都有CD//x軸，直線CD的斜率恒
為常常0.……………………9分
（2）當(dāng)CD過(guò)橢圓焦點(diǎn)時(shí)，則，……10分
雙曲線中，，
∴雙曲線的離心率.………………………………12分