Question

已知圓O：x²+y²=1，點P在直線l：2x+y-3=0上，過點P作圓O的兩條切線，A，B為兩切點．
（1）求切線長PA的最小值，并求此時點P的坐標；
（2）點M為直線y=x與直線l的交點，若在平面內存在定點N（不同于點M），滿足：對于圓 O上任意一點Q，都有

QN

QM

為一常數，求所有滿足條件的點N的坐標．
（3）求

PA

•

PB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理得：|PO|²=R²+|PA|²，半徑R=1，所以要求|PA|最小，就是求|PO|最短，而|PO|最短時，OP垂直于直線2x+y-3=0，由此可得結論；
（2）由直線y=x與直線l：2x+y-3=0聯立，可得交點坐標M（1，1），設Q（m，n），N（x，y），利用

QN

QM

為一常數，建立等式，根據Q的任意性，即可求得結論；
（3）由題意，四點P，A，O，B共圓，當且僅當圓與直線相切時，|PA|最小，∠APB最大，

PA

•

PB

取得最小值．

解答：解：（1）由勾股定理得：|PO|²=R²+|PA|²，半徑R=1，所以要求|PA|最小，就是求|PO|最短，
而|PO|最短時，OP垂直于直線2x+y-3=0，所以最短|OP|=

|0+0-3|

4+1

=

3

5

，
所以|PA|²=|PO|²-R²=

4

5

即|PA|最小時，|PA|=

2 5

5

直線2x+y-3=0的斜率是k=-2，則PO的斜率是k'=

1

2

，所以OP方程是y=

x

2

將方程y=

x

2

與直線2x+y-3=0聯立，解得：x=

6

5

，故有y=

3

5

，即點P坐標是（

6

5

，

3

5

）；
（2）由直線y=x與直線l：2x+y-3=0聯立，可得交點坐標M（1，1），設Q（m，n），N（x，y）
則

QN

QM

=

(x-m)2+(y-n)2

(m-1)2+(n-1)2

=λ（λ≠1）
∴m（2λ-2x）+n（2λ-2y）+x²+y²-3λ+1=0
∵對于圓 O上任意一點Q，都有

QN

QM

為一常數，
∴

2λ-2x=0 2λ-2y=0 x2+y2-3λ+1=0

，解得x=y=λ=

1

2

，
∴N（

1

2

，

1

2

）
（3）由題意，四點P，A，O，B共圓，當且僅當圓與直線相切時，|PA|最小，∠APB最大，

PA

•

PB

取得最小值
由（1）知P坐標是（

6

5

，

3

5

）；
設A（a，b），則過A的切線方程為：ax+by=1，將（

6

5

，

3

5

）代入可得

6

5

a+

3

5

b=1，
∵a²+b²=1
∴a=

10+2 5

15

，b=

5-4 5

15

，或a=

10-2 5

15

，b=

5+4 5

15

∴

PA

•

PB

=（

10+2 5

-

6

5

，

5-4 5

15

-

3

5

）•（

10-2 5

15

-

6

5

，

5+4 5

15

-

3

5

）=-

4

45

點評：本題考查圓的切線，考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．