Question

下圖是幾何體ABC-A₁B₁C₁的三視圖和直觀圖．M是CC₁上的動點，N，E分別是AM，A₁B₁的中點．
（1）求證：NE∥平面BB₁C₁C；
（2）當M在CC₁的什么位置時，B₁M與平面AA₁C₁C所成的角是30°．

Answer 1

（1）證明：連接AE并延長交BB₁于點D，連接DM，則NE為三角形ADM的中位線
∴NE∥DM
∵NE?平面BB₁C₁C，DM?平面BB₁C₁C
∴NE∥平面BB₁C₁C；
（2）解：過B₁作B₁F⊥A₁C₁，連接FM，則
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁F?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥B₁F
∵A₁C₁∩AA₁=A₁，∴B₁F⊥平面AA₁C₁C
∴∠B₁MF為B₁M與平面AA₁C₁C所成的角，即∠B₁MF=30°
∵A₁B₁=B₁C₁=2，A₁B₁⊥B₁C₁，∴B₁F=
∴B₁M=2
∴C₁M=2
∵CC₁=4，
∴M是CC₁的中點時，B₁M與平面AA₁C₁C所成的角是30°．
分析：（1）利用三角形中位線的性質，可得線線平行，從而可得線面平行；
（2）過B₁作B₁F⊥A₁C₁，連接FM，可得∠B₁MF為B₁M與平面AA₁C₁C所成的角，求出B₁M的長，即可得到結論．
點評：本題考查線面平行，考查線面角，考查學生的計算能力，屬于中檔題．