Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點，平面B₁交A₁D₁于F．
（1）指出FA₁D₁上的位置，并說明理由； 
（2）求直線A₁C與DE所成的角：
（3）求直線AD與平面B₁ED所成的角．

Answer 1

分析：（1）以A為坐標原點，建立空間坐標系，設F（0，y，a），求出FD，B₁E對應的向量，進而由FD∥B₁E和向量平行的充要條件，可求出y值，進而判斷出F點的位置；
（2）求出直線A₁C與DE的方向向量，代入向量夾角公式，可得直線A₁C與DE所成的角：
（3）設出平面B₁ED的法向量及直線AD的方向向量，代入向量夾角公式，可得直線AD與平面B₁ED所成的角．

解答：解：（1）建立如圖所示的空間坐標系．
由正方體的性質，有B₁F∥ED，B₁E∥FD．
設F（0，y，a）
則

FD

=(0，a-y，-a)，

BE

=(0，

a

2

，-a)，
由FD∥B₁E得a-y=

a

2

，即y=

a

2

，
∴F為A₁D₂的中點．
（2）

A1C

=(a，a，-a)，

DE

=(a，-

a

2

，0)，
∴cos(

A1C

，

DE

)=

a2- 1 2 a2

3 a? 5 2 a

=

1

15

=

15

15

．
∴A₁C與DE所成的角arccos

15

15

．
（3）設平面B₁ED的法向量為

n

=（x，y，z），
則由

n

⊥

B1E

，

n

⊥

DE

得，

a 2 y-az=0 a- a 2 y=0

⇒

y=2z y=2x

⇒

n

=(x，2x，x)
取x=1，得

n

=（1，2，1），
又

AD

=(0，a，0)，
∴cos(n，

.

AD

)=

2a

6 a

=

6

3

，
∴直線AD與平面B₁ED所成的角為arccos

6

3

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面夾角問題，異面直線的夾角問題，其中建立空間坐標系，將直線夾角和線面夾角問題轉化為向量夾角問題是解答的關鍵．