Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，短軸長為4.

(I)求橢圓C的標準方程；
(II)直線x=2與橢圓C交于P、Q兩點,A、B是橢圓O上位于直線PQ兩側(cè)的動點，且直線AB的斜率為.
①求四邊形APBQ面積的最大值；
②設(shè)直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，判斷+的值是否為常數(shù)，并說明理由．

Answer 1

（1）
（2）故當，的值為常數(shù)0.

試題分析：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為 .      1分
由已知b= 離心率 ,得
所以，橢圓C的方程為.    4分
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得點P、Q的坐標為 ，，則， 5分
設(shè)AB(),直線AB的方程為，代人
得：.
由△>0,解得，由根與系數(shù)的關(guān)系得        7分
四邊形APBQ的面積
故當  …②由題意知，直線PA的斜率，直線PB的斜率
則   10分
=
=，由①知
可得
所以的值為常數(shù)0.      13分
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運用，屬于中檔題。