Question

若雙曲線上不存在點P使得右焦點F關于直線OP（O為雙曲線的中心）的對稱點在y軸上，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由于雙曲線得對稱性，只討論第一象限即可．根據雙曲線方程，設其上一點P的坐標為P（，btanθ），其中為θ銳角，求出直線OP方程：y=x．設右焦點F（c，0）關于直線OP的對稱點為Q（x₁，y₁），根據點關于直線對稱的知識，列方程組并化簡消去y₁，可得．因為不存在點P使得對稱點Q在y軸上，所以不存在θ，使x₁=0滿足該方程，討論這個方程解的情況，得，可得c²≤2a²，離心率滿足．得到正確答案．
解答：解：由于雙曲線得對稱性，只討論第一象限即可．
設雙曲線位于第一象限內一點P的坐標為（，btanθ），其中為θ銳角，
∴直線OP的斜率為k==，可得直線OP方程為y=x，
設右焦點F（c，0）關于直線OP的對稱點為Q（x₁，y₁），
∴，消去y₁得：…（*），
接下來討論方程（*）的根的問題，
當x₁=0時，，將此方程進行變量分離，得：
∵0＜sin²θ＜1
∴
而根據題意，不存在點P使得對稱點Q在y軸上，所以不存在θ，使x₁=0滿足（*）式成立．
綜上所述，可得，即，可得c²≤2a²，離心率
∵雙曲線中，c＞a
∴離心率e＞1，可得．
故選C
點評：本題給出雙曲線上不存在點P使得右焦點F關于直線OP（O為雙曲線的中心）的對稱點在y軸上，求雙曲線離心率的取值范圍，著重考查了雙曲線的簡單性質和點關于直線對稱等知識點，屬于中檔題．