Question

【題目】在中，，，有下述四個結論：

①若為的重心，則

②若為邊上的一個動點，則為定值2

③若，為邊上的兩個動點，且，則的最小值為

④已知為內一點，若，且，則的最大值為2

其中所有正確結論的編號是（ ）

A.①③B.①④C.②③D.②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據題意，先得為等腰直角三角形；①取中點為，連接，得到，根據平面向量基本定理，即可得出結果；②先由①得到，由題意得到在上的投影為，進而可求出向量數量積；③以點為坐標原點，分別以、所在直線為軸、軸，建立平面直角坐標系，由題意，設，且，不妨令，根據向量數量積的坐標表示，即可求出結果；④同③建立平面直角坐標系，設，根據題意，得到，再設，由題意，得到，，用表示出，即可求出結果；

因為在中，，； 所以為等腰直角三角形；

①如圖1，取中點為，連接，因為為的重心，

所以在上，且，

所以，故①正確；

②如圖1，同①，因為為中點，為等腰直角三角形，所以，

若為邊上的一個動點，則在上的投影為，

因此，故②錯；

③如圖2，以點為坐標原點，分別以、所在直線為軸、軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，易得，所在直線方程為：；

因為，為邊上的兩個動點，

所以設，，且，不妨令，

因為，所以，即，則，

所以

，當且僅當時，等號成立；故③正確；

④同③建立如圖3所示的平面直角坐標系，則，，

設，則，

又，所以，即

因為為內一點，且，設，

則，且，，

因此，

因為，所以，所以無最值，即無最值，故④錯.

故選：A.