Question

有人玩擲硬幣走跳棋的游戲,已知硬幣出現正反面為等可能性事件,棋盤上標有第0站,第1站,第2站,…,第100站,一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳動一次,若擲出正面,棋向前跳一站(從k到k+1),若擲出反面,棋向前跳兩站(從k到k+2),直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或跳到第100站(失敗集中營)時,該游戲結束.設棋子跳到第n站概率為P_n.

(1)求P₀、P₁、P₂的值;

(2)求證:P_n-P_n-1=-(P_n-1-P_n-2),其中n∈N,2≤n≤99;

(3)求P₉₉及P₁₀₀的值.

Answer 1

(1)解：棋子開始在第0站為必然事件,

    ∴P₀=1.

    第一次擲硬幣出現正面,棋子跳到第1站,其概率為,

    ∴P₁=.棋子跳到第2站應從如下兩方面考慮:

    ①前兩次擲硬幣都出現正面,其概率為;

    ②第一次擲硬幣出現反面,其概率為.

    ∴P₂=+=.

(2)證明:棋子跳到第n(2≤n≤99)站的情況是下列兩種,而且也只有兩種:

    ①棋子先到第n-2站,又擲出反面,其概率為P_n-2;

    ②棋子先到第n-1站,又擲出正面,其概率為P_n-1.

    ∴P_n=P_n-2+P_n-1.

    ∴P_n-P_n-1=- (P_n-1-P_n-2).

(3)解:由(2)知,當1≤n≤99時,數列{P_n-P_n-1}是首項為P₁-P₀=-,公比為-的等比數列.

    ∴P₁-1=-,P₂-P₁=(-)²,P₃-P₂=(-)³,…,P_n-P_n-1=(-)ⁿ.

    以上各式相加,得P_n-1=(-)+(-)²+…+(-)ⁿ,

    ∴P_n=1+(-)+(-)²+…+(-)ⁿ=［1-(-)ⁿ⁺¹］(n=0,1,2,…,99).

    ∴P₉₉=［1-()¹⁰⁰］,

    P₁₀₀=P₉₈=·［1-(-)⁹⁹］=［1+()⁹⁹］.