Question

半徑為R的球O中有一個內接圓柱，當圓柱的側面積最大時，球的表面積與該圓柱的表面積的比值為（　　）

• A．

  3

  4

• B．1
• C．

  4

  3

• D．2

Answer 1

分析：設出圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為α，求出圓柱的側面積表達式，求出最大值，計算球的表面積，即可得到兩者的比值．

解答：解：設圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為α，
則r=Rcosα，圓柱的高為2Rsinα，圓柱的側面積為：2πR²sin2α，
當且僅當α=

π

4

時，sin2α=1，圓柱的側面積最大，
圓柱的側面積為：2πR²，球的表面積為：4πR²，
球的表面積與該圓柱的側面積之比是：2：1．
故選D．

點評：本題考查球的內接圓柱的知識，球的表面積，圓柱的側面積的最大值的求法，考查計算能力，常考題型．是基礎題，