Question

如圖，已知P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)，　
(Ⅰ)求證：EF∥平面PAD；　　
(Ⅱ)求證：EF⊥CD；　　
(Ⅲ)若∠PDA=45°，求EF與平面ABCD所成的角的大小。

Answer 1

解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz， 設(shè)AB=2a，BC=2b，PA=2c， 則A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0）， D（0，2b，0），P（0，0，2c）， ∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)， ∴E（a，0，0），F(xiàn)（a，b，c）， （Ⅰ）∵=（0，b，c），=（0，0，2c）， =（0，2b，0）， ∴， ∴與共面， 又∵平面PAD， ∴EF∥平面PAD。 （Ⅱ）∵=（-2a，0，0）， ∴=（-2a，0，0）·（0，b，c）=0， ∴EF⊥CD； （Ⅲ）若∠PDA=45°，則有2b=2c，即b=c， ∴=（0，b，b），=（0，0，2b）， ∴， ∴=45°， ∵AP⊥平面ABCD， ∴是平面ABCD的法向量， ∴EF與平面ABCD所成的角為 90°-=45°。