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求證：（Cn）2+（Cn1）2+（Cn2）2+…+（Cnn）2=C2nn．
【答案】分析：利用（1+x）n（1+x）n=（1+x）2n，兩邊分別用二項式定理，通過xn的系數相等得證．
解答：證明：由（1+x）n（1+x）n=（1+x）2n，兩邊展開得：
（Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnm-1xn-1+Cnnxn）•（Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnn-1xn-1+Cnnxn）=C2n+C2n1x+C2n1x2+…+C2n2nx2n
比較等式兩邊xn的系數，它們應當相等，所以有：
Cn•Cnn+Cn1•Cnn-1+Cn2•Cnn-2+…+Cnn•Cn=C2nn
由Cnr=Cnn-r，
得（Cn）2+（Cn1）2+（Cn2）2+…+（Cnn）2=C2nn．
點評：本題關鍵是構造出（1+x）n（1+x）n=（1+x）2n
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}中，b1=a1，bn=an-an-1（n≥2），若an+Sn=n．
（1）設cn=an-1，求證：數列{cn}是等比數列；
（2）求數列{bn}的通項公式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}滿足a1=2，am+an+am-n=
1
2
(a2m+a2n)+m-n，其中m，n∈N，m≥n，數列{bn}滿足：bn=an+1-an．
（I）求a0，a2；
（II）當n∈N*時，求證：數列{bn}為等差數列；
（III）設cn=
2n-2(bn-2)
n
(n∈N*)，令Sn=c1+c2+…+cn，求證：
n
2
-
1
3
＜
S1
S2
+
S2
S3
+…+
Sn
sn+1
＜
n
2
(n∈N*)．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）定義在區間(-1，1)上，f(
1
2
)=-1，對任意x，y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)成立，又數列{an}滿足a1=
1
2
，an+1=
2a
1+
a
2
n
．
（I）在（-1，1）內求一個實數t，使得f(t)=2f(
1
2
)；
（II）求證：數列{f（an）}是等比數列，并求f（an）的表達式；
（III）設cn=
n
2
bn+2，bn=
1
f(a1)
+
1
f(a2)
+
1
f(a3)
+…+
1
f(an)
，是否存在m∈N*，使得對任意n∈N*，cn＜
6
7
lo
g
2
2
m-
18
7
log2m恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•臨沂一模）已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn+an+(
12
)n-1=2(n∈N*)，設cn=2nan．
（I）求證：數列{cn}是等差數列，并求數列{an}的通項公式；
（II）按以下規律構造數列{bn}，具體方法如下：b1=c1，b2=c2+c3，b3=c4+c5+c6+c7，…第n項bn由相應的{cn}中2n-1項的和組成，求數列{bn}的通項bn．

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