Question

【題目】設函數f（x）=lnx+ ，m∈R
（1）當m=e（e為自然對數的底數）時，求f（x）的最小值；
（2）討論函數g（x）=f′（x）﹣ 零點的個數；
（3）（理科）若對任意b＞a＞0， ＜1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當m=e時， ，x＞0，

解f′（x）＞0，得x＞e，

∴f（x）單調遞增；

同理，當0＜x＜e時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

∴f（x）只有極小值f（e），

且f（e）=lne+ =2，

∴f（x）的極小值為2

（2）解：∵g（x）= = =0，

∴m= ，

令h（x）=x﹣ ，x＞0，m∈R，

則h（1）= ，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），

令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，

∴h（x）在區間（0，1）上單調遞增，值域為（0， ）；

同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，

∴g（x）要區是（1，+∞）上單調遞減，值域為（﹣∞， ）．

∴當m≤0，或m= 時，g（x）只有一個零點；

當0＜m＜ 時，g（x）有2個零點；

當m＞ 時，g（x）沒有零點

（3）解：（理）對任意b＞a＞0， ＜1恒成立，

等價于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；

設h（x）=f（x）﹣x=lnx+ ﹣x（x＞0），

則h（b）＜h（a）．

∴h（x）在（0，+∞）上單調遞減；

∵h′（x）= ﹣ ﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，

∴m≥﹣x2+x=﹣ + （x＞0），

∴m≥ ；

對于m= ，h′（x）=0僅在x= 時成立；

∴m的取值范圍是[ ，+∞）

【解析】（1）當m=e時， ，x＞0，由此利用導數性質能求出f（x）的極小值．（2）由g（x）= = =0，得m= ，令h（x）=x﹣ ，x＞0，m∈R，則h（1）= ，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），由此利用導數性質能求出函數g（x）=f′（x）﹣ 零點的個數．（3）（理）當b＞a＞0時，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．