Question

若數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2且S_n+1=4a_n-2（n=1，2，3…）．
（I）求a₂，a₃；
（II）求證：數列{a_n-2a_n-1}是常數列；
（III）求證：

a1-1

a2-1

+

a2-1

a3-1

+…+

an-1

an+1-1

＜

n

2

．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=4a_n-2（n=1，2，3），知S₂=4a₁-2=6．所以a₂=S₂-a₁=4．a₃=8．
（2）由S_n+1=4a_n-2（n=1，2，3），知S_n=4a_n-1-2（n≥2）；所以a_n+1=4a_n-4a_n-1由此入手能推導出數列{a_n-2a_n-1}是常數列．
（3）由題設條件知a_n=2ⁿ，所以

an-1

an+1-1

=

2n-1

2n+1-1

=

1

2

•

2n-1

2n- 1 2

＜

1

2

．由此及彼可知

a1-1

a2-1

+

a2-1

a3-1

++

an-1

an+1-1

＜

1

2

+

1

2

++

1

2

=

n

2

．

解答：解：（1）∵S_n+1=4a_n-2（n=1，2，3），∴S₂=4a₁-2=6．∴a₂=S₂-a₁=4．（2分）
同理可得a₃=8．（3分）
（2）∵S_n+1=4a_n-2（n=1，2，3），∴S_n=4a_n-1-2（n≥2）．（4分）
兩式相減得：a_n+1=4a_n-4a_n-1（5分）
變形得：a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2（a_n-2a_n-1）（n≥2）
則：a_n-2a_n-1=2（a_n-1-2a_n-2）（n≥3）（6分）
a_n-2a_n-1=2（a_n-1-2a_n-2）=2²（a_n-2-2a_n-3）=2³（a_n-3-2a_n-4）
=2^n-2（a₂-2a₁）∵a₂-2a₁=0∴a_n-2a_n-1=2^n-2（a₂-2a₁）=0．
數列{a_n-2a_n-1}是常數列．（9分）
（3）由（II）可知：a_n=2a_n-1（n≥2）．
數列{a_n}是以2為首項，以2為公比的等比數列．∴a_n=2ⁿ，（10分）
∴

an-1

an+1-1

=

2n-1

2n+1-1

=

1

2

•

2n-1

2n- 1 2

＜

1

2

．（12分）

a1-1

a2-1

+

a2-1

a3-1

++

an-1

an+1-1

＜

1

2

+

1

2

++

1

2

=

n

2

．（14分）

點評：本題考查數列的性質及綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．