Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在處切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）對任意，恒成立，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）

【解析】

（1）先求導數(shù)，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線斜率，最后根據(jù)點斜式求切線方程即可；

（2）由對分類討論，當，，，和時，分別求出的單調(diào)區(qū)間，能合并的合并即可；

（3）由（2）根據(jù)的范圍，確定在上的單調(diào)性及最值，求解關(guān)于不等式即可.

（1）由題意，，

在處的切線方程為：，

當時，，，

所以切線方程為：，

即；

（2）由（1）知，，

①當時，，

當時，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增；

②當時，，

所以當時，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增；

③當時，若，則，單調(diào)遞增，

若，，解得，或，

所以在和上單調(diào)遞增，

，解得，

所以在上單調(diào)遞減；

若，，解得，或，

所以在和上單調(diào)遞增，

，解得，

所以在上單調(diào)遞減，

綜上所述，時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

時，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；

時，的增區(qū)間為；

時，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；

（3）由對任意，恒成立，

可轉(zhuǎn)化為，恒成立，

由（2）知，①時，在上單調(diào)遞增，

所以，，

所以，解得；

②當，即時，所以在上單調(diào)遞增，

所以，，

所以，解得，所以；

③當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，所以，，

所以，不等式無解；

④當，即時，在上單調(diào)遞減，

所以，，

所以，解得，所以；

綜上.