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已知:x1,x2(x1<x2)是方程x2-6x+5=0的兩根,且.n∈N*
(1)求y1,y2,y3的值;
(2)設zn=ynyn+1,求證:
(3)求證:對?n∈[2,+∞)有
【答案】分析:(1)先根據方程的根求出,再根據yn的表達式和xn+2關于xn+1表達式,分別取n=1、2、3即可求出;
(2)根據xn、yn各項為正的特征,求出z1=y1y2=26,再根據zn的表達式及不等式的性質可得zn>26(n≥2),最后代入,命題得證;
(3)求出,再通過yn+1關于yn的表達式,證出,利用數列的遞推特性進一步證出|yn+1-yn|≤,最后用絕對值不等式的性質將|y2n-yn|分解為不小于它本身的和:|yn+1-yn|+…+|y2n-1-y2n-2|+|y2n-y2n-1|的形式,得出等比數列求和表達式,再將所得結果適當放大,使命題得證.
解答:解:(1)解方程x2-6x+5=0 得x1=1,x2=5,---------------------------------------------1分
,------------------------------------------------------------------------------2分
,--------------------------------------------------------------------------3分
--------------------------------------------4分
(2)由⇒yn+1yn=5yn+1----------------------6分
當n≥2 時yn>5,于是z1=y1y2=26,zn=ynyn+1=5yn+1>26 (n≥2 )
--------------------------------------------------------------------9分
(3)當n≥2 時,有 =----------------------------------------12分
∵|y2n-yn|=|y2n-y2n-1+y2n-1-y2n-2+y2n-2-…+yn+1-yn|
∴|y2n-yn|≤|yn+1-yn|+…+|y2n-1-y2n-2|+|y2n-y2n-1|=
∴對?n∈N* (n∈N*)----------------------------------------------14分
點評:把握數列的遞推關系是解決前兩個問題的關鍵,第三問用到數列遞推在不等式中的應用,證明不等式用到絕對值不等式的性質以及不等式放縮的技巧,再與數列的求和相結合,是數列與不等式兩個知識點的完美交匯.
練習冊系列答案
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已知函數f(x)=
1+x
1+x2
,0≤x≤2
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(Ⅱ)若關于x的方程f(x)-a=0恰有兩個不同實數解,求實數a的取值范圍;
(Ⅲ)已知實數x1,x2∈(0,1],且x1+x2=1.若不等式f(x1)•f(x2)≤x-ln(x-p)在x∈(p,+∞)上恒成立,求實數p的最小值.

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.
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1+x
1+x2
,0≤x≤2
f(2),x>2

(1)求函數f(x)在定義域上的單調區間;
(2)若關于x的方程f(x)-a=0恰有兩個不同實數解,求實數a的取值范圍;
(3)已知實數x1,x2∈(0,1],且x1+x2=1.若不等式f(x1)•f(x2)≤x+p-lnx在x∈(0,+∞)上恒成立,求實數p的最小值.

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