Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c滿足f（1）=0．
（I）若a＞b＞c，證明f（x）的圖象與x軸有兩個交點，且這兩個交點間的距離d滿足：

3

2

＜d＜3；
（Ⅱ）設f（x）在x=

t+1

2

（t＞0，t≠1）處取得最小值，且對任意實數x，等式f（x）g（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹（其中n∈N，g（x）=x²+x+1）都成立，若數列{c_n}的前n項和為b_n，求{c_n}的通項公式．

Answer 1

（I）∵f（1）=0，∴a+b+c=0．
∴結合a＞b＞c，可得a＞0，c＞0．
因此ac＜0，得b²-4ac＞0…（1分）
即f（x）的圖象與x軸有兩個交點．
∵f（1）=0，得x=1是f（x）=0的一個根．
∴由根與系數的關系可知f（x）=0的另一個根是

c

a

，可得d=|1-

c

a

|．
∵

c

a

＜0，d=1-

c

a

，且a＞b＞c，b=-a-c，
∴a＞b=-a-c＞c．
由此可得

c

a

＜-1-

c

a

＜1，即-2＜

c

a

＜-

1

2

，

3

2

＜1-

c

a

＜3．
∴兩個交點間的距離d滿足：

3

2

＜d＜3．…（3分）
（II）∵f（x）在x=

t+1

2

處取得最小值，∴x=

t+1

2

是f（x）的對稱軸方程．
由f（x）圖象的對稱性及f（1）=0可知f（t）=0．  …（5分）
令x=1，得a_n+b_n=1…①；
再令x=t，得tan+bn=tn+1…②
由①、②聯解，可得bn=

t-tn+1

t-1

．…（7分）
∴n＞1時，cn=

t-tn+1

t-1

-

t-tn

t-1

=

tn(1-t)

t-1

=-tn．
又∵n=1時，c1=b1=

t-t2

t-1

=-t，也符合
∴{c_n}是首項為c₁=-t，公比為q=t的等比數列，且{c_n}的通項公式cn=-tn． …（8分）