Question

已知偶函數f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R），
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）設g(x)=log4(a•2x-

4

3

a)，若函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據偶函數可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（Ⅱ）函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，則方程f（x）=g（x）有且只有一個實根，化簡可得2x+

1

2x

=a•2x-

4

3

a有且只有一個實根，令t=2^x＞0，則轉化成方程(a-1)t2-

4

3

at-1=0有且只有一個正根，討論a=1，以及△=0與一個正根和一個負根，三種情形，即可求出實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=f（-x）得到：f（-1）=f（1）?log₄（4^-1+1）-k=log₄（4+1）+k，
∴k=-

1

2

．
（Ⅱ）函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點
即方程log4(4x+1)-

1

2

x=log4(a•2x-

4

3

a)有且只有一個實根
化簡得：方程2x+

1

2x

=a•2x-

4

3

a有且只有一個實根
令t=2^x＞0，則方程(a-1)t2-

4

3

at-1=0有且只有一個正根
①a=1?t=-

3

4

，不合題意；
②△=0?a=

3

4

或-3
若a=

3

4

?t=-

1

2

，不合題意；若a=-3?t=

1

2

③若一個正根和一個負根，則

-1

a-1

＜0，即a＞1時，滿足題意．
所以實數a的取值范圍為{a|a＞1或a=-3}

點評：本題主要考查了偶函數的性質，以及對數函數圖象與性質的綜合應用，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．