Question

定義在（-1，1）上的函數f（x），對任意的x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；且當x∈（-∞，0）時，f（x）＞0，回答下列問題：
（1）判斷函數f（x）在（-1，1）的奇偶性，并說明理由；
（2）判斷函數f（x）在（-1，1）的單調性，并說明理由；
（3）若f(

1

5

)=

1

2

，試求f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)的值．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，y=-x，即可得出結論；
（2）利用函數單調性的證明步驟，可得結論；
（3）證明f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，代入計算，可得結論．

解答：解：（1）令x=y=0，則2f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，∴f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函數．    …4
（2）任取x₁，x₂∈（-1，1）且設x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(

x1-x2

1-x1x2

)
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，則

x1-x2

1-x1x2

＜0
∴f(

x1-x2

1-x1x2

)＞0∴f(x1)＞f(x2)
∴函數在給定區間上遞減．                …8
（3）f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)
∴f(

1

2

)-f(

1

5

)=f(

1

3

)，f(

1

3

)-f(

1

11

)=f(

1

4

)，f(

1

4

)-f(

1

19

)=f(

1

5

)
∴f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)=2f(

1

5

)=1…12．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．