Question

【題目】已知函數，且．

（1）求函數的極值；

（2）當時，證明：．

Answer 1

【答案】（1）當時，函數有極大值，當時，函數有極小值；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）求極值，可先求得導數，然后通過解不等式確定增區間，解不等式確定減區間，則可得極大值和極小值；（2）要證明此不等式，我們首先研究不等式左邊的函數，記，求出其導數，可知在上單調遞增，在上單調遞減，，這是時最小值，，這是時的最大值，因此要證明題中不等式，可分類，和分別證明．

試題解析：（1）依題意，，

故，

令，則或； 令，則，

故當時，函數有極大值，當時，函數有極小值．

（2） 由（1）知，令，

則，

可知在上單調遞增，在上單調遞減，令．

① 當時，，所以函數的圖象在圖象的上方．

② 當時，函數單調遞減，所以其最小值為最大值為2，而，所以函數的圖象也在圖象的上方．

綜上可知，當時，