Question

如圖，橢圓（a＞b＞0）過點，其左、右焦點分別為F₁，F₂，離心率，M，N是橢圓右準線上的兩個動點，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過定點？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為：，且過點，列出關于a，b的方程，解得a，b．最后寫出橢圓方程即可；
（2）設點M（4，y₁），N（4，y₂）寫出向量的坐標，利用向量的數量積得到y₁y₂=-15，又，結合基本不等式即可求得MN的最小值；
（3）利用圓心C的坐標和半徑得出圓C的方程，再令y=0，得x²-8x+1=0從而得出圓C過定點．
解答：解：（1）∵，且過點，
∴解得
∴橢圓方程為．（4分）
（2）設點M（4，y₁），N（4，y₂）則，，
∴y₁y₂=-15，
又∵，
∴MN的最小值為．
（3）圓心C的坐標為，半徑．
圓C的方程為，
整理得：x²+y²-8x-（y₁+y₂）y+16+y₁y₂=0．∵y₁y₂=-15，∴x²+y²-8x-（y₁+y₂）y+1=0
令y=0，得x²-8x+1=0，∴．∴圓C過定點．
點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質、圓與圓錐曲線的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．