Question

 (22) （本小題滿分14分）

如圖，橢圓（a＞b＞0）的一個焦點為F(1,0)，且過點（2，0）.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l:x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M.

 (ⅰ)求證：點M恒在橢圓C上；

(ⅱ)求△AMN面積的最大值.

Answer 1

（1）橢圓C方程為.（2）同解析

解析:

解法一：

（Ⅰ）由題設a=2,c=1,從而b²=a²-c²=3,

所以橢圓C方程為.

(Ⅱ)(i)由題意得F(1,0),N(4,0).

設A(m,n),則B(m,-n)(n≠0),=1. ……①

AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0，

n(x-4)-(m-4)y=0.

設M(x₀,y₀),則有  n(x₀-1)-(m-1)y₀=0, ……②

n(x₀-4)+(m-4)y₀=0, ……③

由②，③得

x₀=.

所以點M恒在橢圓G上.

(ⅱ)設AM的方程為x=xy+1,代入＝1得（3t²+4）y²+6ty-9=0.

設A(x₁,y₁),M（x₂，y₂），則有：y₁+y₂=

|y₁-y₂|=

令3t²+4=λ(λ≥4),則

|y₁-y₂|＝

因為λ≥4，0<

|y₁-y₂|有最大值3，此時AM過點F.

△AMN的面積S_△AMN=

解法二：

（Ⅰ）問解法一：

（Ⅱ）（ⅰ）由題意得F(1,0),N(4,0).

設A(m,n),則B(m,-n)(n≠0),              ……①

AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0,                  ……②

n(x-4)-(m-4)y=0,                  ……③

由②，③得：當≠.          ……④

由④代入①，得=1（y≠0）.

當x=時，由②，③得：

解得與a≠0矛盾.

所以點M的軌跡方程為即點M恒在錐圓C上.

（Ⅱ）同解法一.