Question

已知△OFQ的面積為，且．
（1）當時，求向量與的夾角θ的取值范圍；
（2）設，若以中心O為坐標原點，焦點F在x非負半軸上的雙曲線經過點Q，當取得最小值時，求此雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩個向量的數量積的定義和三角形面積公式，推出tanθ的解析式，再根據m的范圍，求得tanθ
的范圍，進而求得θ的取值范圍．
（2）設出雙曲線的標準方程和點Q的坐標，有三角形的面積公式求出點Q的橫坐標和縱坐標（用半焦距表示），用基本不等式求出||最小時點Q的坐標，從而得到雙曲線方程中的待定系數．
解答：解：（1）由已知得 ，∴tanθ=，
∵＜m＜4，∴1＜tanθ＜4，∴＜θ＜arctan4．
（2）設雙曲線方程為 -=1，（a＞0，b＞0），不妨設點Q的坐標為（m，n），
n＞0，則=（m-c，n），∵△OFQ的面積為 ||•n=2，∴n=．
又由•=（c，0）•（m-c，n）=c（m-c）=（-1）c²，∴m=，
||==≥，當且僅當c=4時，||有最小值，
此時，點Q的坐標為（，），由此可得，解得 ，
故所求的方程為：=1．
點評：本題考查兩個向量的數量積的定義，三角形的面積公式以及基本不等式的應用，用待定系數法求雙曲線的方程．