Question

過y=x²上一點（a，a²）作切線，問a為何值時所作切線與拋物線y=-x²+4x-1所圍區域的面積最小（　　）

• A、2
• B、1
• C、1.5
• D、2.5

Answer 1

考點：二次函數的性質,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：利用導數求出過y=x²上一點（a，a²）的切線方程，切線方程與拋物線y=-x²+4x-1聯立，求出交點P₁、P₂，
利用積分求出切線與拋物線圍成的面積S，求出S取最小值時a的值即可．

解答： 解：∵y=x²，
∴過y=x²上一點（a，a²）作切線，切線的斜率為k=y′=2a，
∴切線的方程為y=2ax-a²；
設切線與拋物線y=-x²+4x-1的交點為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且x₂＞x₁；
則

y=2ax-a2 y=-x2+4x-1

，
消去y，得x²-（4-2a）x-a²+1=0，
∴x₁+x₂=4-2a，
x₁x₂=-a²+1；
∴x12+x22=6a²-16a+14，
x₂-x₁=

8a2-16a+12

∴切線與拋物線圍成的面積為
S=

∫

x2 x1

[（-x²+4x-1）-（2ax-a²）dx
=-

1

3

（x23-x13）+（2-a）（x22-x12）+（a²-1）（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）[-

1

3

（x22+x₁x₂+x12）+（2-1）（x₁+x₂）+（a²-1）]
=

8a2-16a+12

•[-

1

3

（6a²-16a+14-a²+1）+（2-a）（4-2a）+（a²-1）]
=

8(a-1)2+4

•[

4

3

（a-1）²+

2

3

]，
∴當a=1時，S取得最小值．

點評：本題考查了函數導數的幾何意義問題，也考查了利用積分求曲邊圖形的面積問題，考查了求函數最值的應用問題，是綜合性題目．