Question

設函數，其圖象與軸交于，兩點，且x1＜x2．

（1）求的取值范圍；

（2）證明：（為函數的導函數）；

（3）設點C在函數的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記，求

的值．

 

Answer 1

（1）;（2）詳見解析;（3）

【解析】

試題分析：（1）根據題意圖象與軸交于，兩點，由零點的定義可得：函數的圖象要與x軸有兩個交點，而此函數的特征不難發現要對它進行求導，運用導數與函數的關系進行求函數的性質，即：，a的正負就決定著導數的取值情況，故要對a進行分類討論：分和兩種情況，其中顯然不成立，時轉化為函數的最小值小于零，即可求出a的范圍; （2）由圖象與軸交于，兩點，結合零點的定義可得：整理可得：，觀察其結構特征，可想到整體思想，即：，目標為：，運用整體代入化簡可得：，轉化為對函數進行研究，運用導數知識不難得到，即：，故而是單調增函數，由不等式知：，問題可得證; （3）由題意有，化簡得，而在等腰三角形ABC中，顯然只有C = 90°，這樣可得，即，結合直角三角形斜邊的中線性質，可知，所以，即，運用代數式知識處理可得： ，而，所以，即，所求得

試題解析：（1）．

若，則，則函數是單調增函數，這與題設矛盾． 2分

所以，令，則．

當時，，是單調減函數；時，，是單調增函數；

于是當時，取得極小值． 4分

因為函數的圖象與軸交于兩點，(x1＜x2)，

所以，即

此時，存在；

存在，

又由在及上的單調性及曲線在R上不間斷，可知為所求取值范圍. 6分

（2）因為 兩式相減得

記，則， 8分

設，則，所以是單調減函數，

則有，而，所以．

又是單調增函數，且

所以． 11分

（3）依題意有，則．

于是，在等腰三角形ABC中，顯然C = 90°， 13分

所以，即，

由直角三角形斜邊的中線性質，可知，

所以，即，

所以，

即．

因為，則，

又，所以， 15分

即，所以 16分

考點：1.函數的圖象性質;2.導數在函數中的運用;3.函數與不等式的綜全運用