Question

甲乙二人輪流擲一枚均勻的正方體骰子，規定：如果某人某一次擲出1點，則下一次繼續由此人擲，如果擲出其他點數，則由另一人來擲，且第一次由甲擲.設第n次由甲擲的概率為p_n，由乙擲的概率為q_n.
(1)計算p₂，p₃的值；
(2)求證{p_n－q_n}是等比數列；
(3)求p_n.

Answer 1

（1）p₂＝，p₃＝p₂＋q₂＝；（2）同解析；（3）p_n＝。

(1)由已知，p₁＝1,q₁＝0 ---1分 p₂＝,且q₂＝
p₃＝p₂＋q₂＝
(2)由已知，p_n＝p_n－1＋q_n－1,q_n＝q_n－1＋p_n－1(n≥2)   
兩式相減得：p_n－q_n＝(p_n－1－q_n－1)＋(q_n－1－p_n－1) ＝－(p_n－1－q_n－1) 
即數列{p_n－q_n}是公比為－等比數列； 
(3)由(2)得：p_n－q_n＝(－)^n－1(p₁－q₁)＝(－)^n－1     
又p_n＋q_n＝1  ∴p_n＝(－)^n－1＋q_n＝(－)^n－1＋(1－p_n) 
∴p_n＝(－)^n－1＋(n∈N_＋)   ∴p_n＝.